Wanneer het uit zijn ei uitkomt, is de schaal van een bepaalde krab 1 cm over wanneer het volledig wordt gekweekt ongeveer 10 cm per nieuwe onethird groter dan vorige hoeveel schelpen d?

Laten we de grootte van de schaal van de krab als volgt aangeven als volgt:

S1 =1 cm (begingrootte)

S2 =S1 + 1/3 S1 =4/3 cm

S3 =S2 + 1/3 S2 =7/3 cm

S4 =S3 + 1/3 S3 =10/3 cm

...

We kunnen hier een patroon observeren. De grootte van de schaal in elke fase wordt verkregen door 1/3 van de grootte van de vorige fase toe te voegen.

Over het algemeen kan de grootte van de schaal in de nde fase worden uitgedrukt als:

Sn =S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(N-1) S1

Om het aantal schalen te bepalen dat de krab -schuren (exclusief de initiële schaal), moeten we de waarde van N vinden waarvoor SN ≥ 10 cm.

10 cm ≤ sn

10 cm ≤ S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(N-1) S1

10 cm ≤ s1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(n-1)]

We kunnen de uitdrukking binnen de haakjes herkennen als de som van een geometrische serie met de eerste term 1 en de gemeenschappelijke verhouding 1/3. De som van een geometrische serie wordt gegeven door:

Sum =A1 / (1 - R), waarbij A1 de eerste term is en R de gemeenschappelijke verhouding is.

We aansluiten op A1 =1 en R =1/3, we krijgen:

Sum =1/(1 - 1/3) =3/2

Daarom,

10 cm ≤ S1 [3/2]

S1 ≥ (10 cm) * (2/3)

S1 ≥ 6,67 cm

Dit houdt in dat de krab zijn schaal zal afwerpen wanneer hij een grootte van ongeveer 6,67 cm bereikt.

Om het aantal schalen te bepalen, moeten we de waarde van N vinden zodat Sn ≥ 6,67 cm.

6.67 cm ≤ S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(N-1) S1

6.67 cm ≤ s1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(n-1)]

Omdat de som van de geometrische serie 3/2 is, hebben we:

6,67 cm ≤ S1 * (3/2)

S1 ≥ (6,67 cm) * (2/3)

S1 ≥ 4,45 cm

Dit betekent dat de krab zijn schaal zal afwerpen zodra zijn grootte meer dan 4,45 cm overschrijdt.

Nu moeten we het aantal fasen of de vervelling bepalen die de krab ondergaat voordat de grootte meer dan 4,45 cm overschrijdt.

Beginnend met S1 =1 cm, kunnen we de volgende fasen als volgt berekenen:

S2 =1 cm + (1/3) cm =4/3 cm

S3 =4/3 cm + (1/3) * 4/3 cm =7/3 cm

S4 =7/3 cm + (1/3) * 7/3 cm =10/3 cm

We kunnen zien dat S4 groter is dan 4,45 cm. Daarom zal de krab zijn schaal afwerpen tijdens de overgang van de derde fase (S3) naar de vierde fase (S4).

Dus de krab zal 3 schelpen hebben afgeworpen (exclusief de initiële schaal) tegen de tijd dat de grootte groter is dan 10 cm.

Pet heremietkreeften